Hallar la intersección de la recta r que pasa por el punto A ( 1,4 ) y tiene por pendiente m = 1=2 con la recta l que tiene por pendiente m2 = -3 y pasa por el punto B ( 1, -2 ):
1º. Hallar la ecuación de la recta r : 2º Hallar la ecuación de la recta l :
Y - Yo = m ( X -Xo ) Y - ( - 2 ) = ( -3 ) ( X - 1 )
Y - 4 = 3 ( X - 1 ) Y + 2 = -3X + 3
Y = -3X + 3 - 2
Ejercicio de rectas
Hallar intersección de las rectas siguientes :
- La recta r pasa por el punto P ( 0,1 )y tiene de pendiente m = 1/2 y la recta l que pasa por el punto Q ( 2, -1 )cuya pendiente es m = 2.
Hallamos la ecuación de r Hallamos la recta l
Y - Yo = m( X -Xo ) Y - Yo = m( X - Xo )
Y - 1 = 1/2 X Y + 1 = - 2 x + 4
Y = 1/2 X+1 Y = - 2X + 3
Punto de corte P ( 0,8 , 1,4 )
- La recta r pasa por el punto P ( 0,1 )y tiene de pendiente m = 1/2 y la recta l que pasa por el punto Q ( 2, -1 )cuya pendiente es m = 2.
Hallamos la ecuación de r Hallamos la recta l
Y - Yo = m( X -Xo ) Y - Yo = m( X - Xo )
Y - 1 = 1/2 X Y + 1 = - 2 x + 4
Y = 1/2 X+1 Y = - 2X + 3
Punto de corte P ( 0,8 , 1,4 )
Distintos Tipos De Funciones Lineales
Función de proporcionalidad: Y = mx
Las Funciones de proporcionalidad se represenrtan 
mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporcion entre los valores de las dos variables.
mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporcion entre los valores de las dos variables.La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.
Función constante: Y = N
Se representa mediante una recta paralela al eje x su pendiente es 0.
La recta Y = 0 coincide con el eje x
Ejercicios de Inecuaciones
√ x + 1 + 3 = x + 2
√x+1 = x + 2 - 3
√ x + 1 = x - 1
(√ x + 1 )2 = ( x - 1) 2
x + 1 = x2 - 2x X 1 + 1 2
- X 2 + x + 2 x + 1 - 1 = 0
x 2 + 2
√ 2 x + 1 - √ x - 3 = 2
√2 x + 1 = 2 + √ x - 3
(√/ 2 x + 1 )2 +
√x+1 = x + 2 - 3
√ x + 1 = x - 1
(√ x + 1 )2 = ( x - 1) 2
x + 1 = x2 - 2x X 1 + 1 2
- X 2 + x + 2 x + 1 - 1 = 0
x 2 + 2
√ 2 x + 1 - √ x - 3 = 2
√2 x + 1 = 2 + √ x - 3
(√/ 2 x + 1 )2 +
Resolucion algebráica de una inecuación
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Vamos a resolver algebraicamente las tres inecuaciones a), b) y c) cuya resolución gráfica se ha hecho en la página anterior.
a) 2x + 4>0 restamos 4 2x>-4 dividimos por 2 x>-2
Como ves, se han utilizado las mismas operaciones que se efectúan para resolver ecuaciones.
Multiplicamos todo por 2 para quitar el denominador
y 14 al segundo
!!!Muy importante!!! Al multiplicar o dividir dos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de signo.
Para resolver una inecuación de primer grado, se procede como si fuera una inecuación con la siguiente salvedad: si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de signo.
a) 2x + 4>0 restamos 4 2x>-4 dividimos por 2 x>-2
Como ves, se han utilizado las mismas operaciones que se efectúan para resolver ecuaciones.
Multiplicamos todo por 2 para quitar el denominador
y 14 al segundo
!!!Muy importante!!! Al multiplicar o dividir dos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de signo.
Para resolver una inecuación de primer grado, se procede como si fuera una inecuación con la siguiente salvedad: si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de signo.
Resolución gráfica de una inecuación
Veamos cómo se resuelven gráficamente las tres inecuaciones a), b), y c), de la página anterior.
a) 2x + 4 > 0
¿Para que valores de x es 2x + 4 mayor que 0? Es decir: ¿ Para que valores de la x la ordenada de la recta y = 2x + 4 queda por encima del eje x? Si obsevamos la representación gráfica de la recta, la respuesta es clara: para x > -2.
Es decir, cualquier número mayor que -2 es solución.El conjunto de soluciones es, por tanto, (-2, + ∞).
b) -2x + 7 ≥ x/2 -3
La ordenada de la recta y = -2x + 7 es mayor o igual que la ordenada de la recta y = x/2 -3 para valores de x menores que 4 y para el propio 4.
La solución de esta inecuación es todo número x ≤ 4.
El conjunto de todas las soluciones es el intervalo (-∞, 4)
c) (-x.x) + 4x > 2x -3
La ordenada de la parábola y = (-x.x) + 4x es mayor que la de la recta y = 2x - 3 para valores de x comprendido entre -1 y 3.
El conjunto de solucionesde esta inecuación es el intervalo (-1, 3)
Problemas de Inecuaciones
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1º. En una cafeteria hay 120 personas entre mujeres y hombres, si se van 40 hombres , el numero de mujeres y el de hombre es igual ¿Cuantos hombres y mujeres hay en la cafeteria?
Pasos : 1º. Elección de incognitas:
X = Hombres.
Y= Mujeres.
2º. Planteamos la ecuación.
X + Y = 120 Personas.
X-40= Y Soluciones:
X= Y + 40 ---> (Y + 40) + Y = 120 Y = 40 X = 80
Y + 40 + Y = 120, 2Y = 120 + 40
Y= 120 - 40 / 2 = 80/2 = 40
X + 40 = 120
X = 120 - 40= 80
2º. Un barco tarda 4 h y 30 min en hacer un viaje de ida y vuelta entre 2 ciudades,arribada y bajada que estan situados en la vertiente de un río la velocidad de ese barco sin ayuda de la corriente es de 40 Km/H y la velocidad de la corriente de bajada y arribada es de 10 Km/H. Calcula la distancia entre las ciudades.
E = V . T
X= Distancia = 15.300
4,5 H = X/50 + X / 30
4,5 = 3X / 150 + 5x/150
4,5 = 8X/ 150 + 5X/150 Solución
4.5 = x/ 150 ---> 4´5 * 150 / 8 = x X= 84.3
Pasos : 1º. Elección de incognitas:
X = Hombres.
Y= Mujeres.
2º. Planteamos la ecuación.
X + Y = 120 Personas.
X-40= Y Soluciones:
X= Y + 40 ---> (Y + 40) + Y = 120 Y = 40 X = 80
Y + 40 + Y = 120, 2Y = 120 + 40
Y= 120 - 40 / 2 = 80/2 = 40
X + 40 = 120
X = 120 - 40= 80
2º. Un barco tarda 4 h y 30 min en hacer un viaje de ida y vuelta entre 2 ciudades,arribada y bajada que estan situados en la vertiente de un río la velocidad de ese barco sin ayuda de la corriente es de 40 Km/H y la velocidad de la corriente de bajada y arribada es de 10 Km/H. Calcula la distancia entre las ciudades.
E = V . T
X= Distancia = 15.300
4,5 H = X/50 + X / 30
4,5 = 3X / 150 + 5x/150
4,5 = 8X/ 150 + 5X/150 Solución
4.5 = x/ 150 ---> 4´5 * 150 / 8 = x X= 84.3
Inecuaciones
Una Inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <, <_,>, >_.
Ejemplos :
a)3x + 4 > 0 b)-2x + 7 >_ x/2 -3 c) -x2 + 4x > 2x - 3
Se le llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que haga cierta la desigualdad.
Por ejemplo, X =5 es la solución de la inecuación porque 2 x 5 + 4 = 14 es mayor que 0. El valor X=5 no es solución de las inecuaciones b) y C).
Ejemplos :
a)3x + 4 > 0 b)-2x + 7 >_ x/2 -3 c) -x2 + 4x > 2x - 3
Se le llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que haga cierta la desigualdad.
Por ejemplo, X =5 es la solución de la inecuación porque 2 x 5 + 4 = 14 es mayor que 0. El valor X=5 no es solución de las inecuaciones b) y C).
Crecimiento, máximos y mínimos
Crecimiento, máximos y mínimos 
La función f es creciente en este tramo poque
si x1 <>f(x1) < f (x2).
La función f es creciente en este tramo poque
si x1 <>f(x1) < f (x2).
Análogamente, una función es decreciente en un intervalo cuando
si x1 <>f(x1) > f(x2).
Una función puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros.
Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor en los puntos próximos en tal caso, la función es creciente hasta elmáximo y decreciente a partir de él.
Analógicamente si f tiene un mínimo relativo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente a partir de él.
Ejercicios de Autoevaluación (Soluciones)
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I. ¿Interpretas una función dada gráficamente y analizas los aspectos más relevantes de ella (dominio, recorrido,
crecimiento, máximos y mínimos…)?
1. Observa la gráfica y contesta las cuestiones:
a) Di cuál es su dominio de definición y su recorrido.
R= Dom f (x) = [– 4, 4]. Recorrido de f (x) = [–2, 4].
b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo, ¿cuáles son?
R= Tiene un mínimo relativo en el punto (–2, –2) y un máximo relativo en el punto (2, 4).
c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿En cuáles es decreciente?
R= La función es decreciente en los intervalos (– 4, –2) y en (2, 4). Crece en el intervalo (–2, 2).
2. Di cuál es el dominio y el recorrido de la función dibujada:
R= Dom f (x) = [1, 13]. Recorrido de f (x) = [0, 4].
a) Di cuál es su dominio de definición y su recorrido.
R= Dom f (x) = [– 4, 4]. Recorrido de f (x) = [–2, 4].
b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo, ¿cuáles son?
R= Tiene un mínimo relativo en el punto (–2, –2) y un máximo relativo en el punto (2, 4).
c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿En cuáles es decreciente?
R= La función es decreciente en los intervalos (– 4, –2) y en (2, 4). Crece en el intervalo (–2, 2).
2. Di cuál es el dominio y el recorrido de la función dibujada:
R= Dom f (x) = [1, 13]. Recorrido de f (x) = [0, 4].
Mediante su expreción analítica o fórmula.
Mediante su expreción analítica o fórmula.
La expresión analítica es la forma mas precisa y operativa de dar una función.Pero requiere un minusioso estudio posterior.
-Ejemplo 1
La distancia, d, en m, que recorre un coche desde que el conductor aprecia un peligro hasta que el coche para por completo como consecuencia del frenazo, en función de la velocidad, v, en km/h, que llevaba en ese instante, viene dada por la fórmula d= 0,0074v2 + 0,21v
-Ejemplo 2
El volumen de una esfera en función
de su radio es:V= 4/3 π r3 ( r en cm, V en cm3 )
-Ejemplo 3
El periodo, T, de un cierto péndulo viene dado en función de su longitud, l (en m), por la fórmula T=√4l
El periodo es el tiempo, en s, que tarda en dar una oscilación, ida y vuelta.
El periodo, T, de un cierto péndulo viene dado en función de su longitud, l (en m), por la fórmula T=√4l
El periodo es el tiempo, en s, que tarda en dar una oscilación, ida y vuelta.
-Ejemplo 4
El aumento, A, del tamaño de un objeto que se mira a través de una lupa es
A= 2/2-d
d: distancia de la lupa al objeto, en cm.
A: aumento (número por el que se multiplica el tamaño)
El aumento, A, del tamaño de un objeto que se mira a través de una lupa es
A= 2/2-d
d: distancia de la lupa al objeto, en cm.
A: aumento (número por el que se multiplica el tamaño)
Funciones Continuas
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Una Función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. es continua en un intervalo [a,b] si no presenta ninguna discontinuidad en él.
Continua Discontinua Discontinua Discontinua
Continua Discontinua Discontinua Discontinua
Funciones mediante una tabla de valores
Con frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual se obtienen directamente los datos buscados.Sin embargo, en otros casos, como en la tabla siguiente, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.
Esta tabla de valores permite calcular lo que cada persona debe pagar a hacienda un cierto al año (Cuota integra) en función de lo que gana (base liquidable).
Ejercicio: Alguien que gana 32 500 € se sitúa en la 4ª. fila. por los primeros 26 000 € paga 6360 €, y por el resto el 37% es decir paga 6 500 + 2405 es decir si gana 32 500 € ha de pagar 8 905 €
Esta tabla de valores permite calcular lo que cada persona debe pagar a hacienda un cierto al año (Cuota integra) en función de lo que gana (base liquidable).
Ejercicio: Alguien que gana 32 500 € se sitúa en la 4ª. fila. por los primeros 26 000 € paga 6360 €, y por el resto el 37% es decir paga 6 500 + 2405 es decir si gana 32 500 € ha de pagar 8 905 €
| Base liquidable hasta Euros | Cuota íntegra Euros | Resto Base Liquidable Hasta Euros | Tipo Aplicable |
| 0 | 0 | 4 000 | 15 |
| 4 000 | 600 | 10 000 | 25 |
| 14 000 | 3 000 | 12 000 | 28 |
| 26 000 | 6 360 | 20 000 | 37 |
Funciones matemáticas
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La Función cuadrática.
Parábolas
x es la variable; independiente puede adaptar cualquier valor si no hay nadie quien lo impida.
El conjunto de valores que adopta la x se denomina con el nombre de dominio campo de existencia de la variable x.
Dom. (- ∞......)
Recorrido:es el conjnto de valores que se han visto obligados a tomar la variable dependiente y.
Parábolas
x es la variable; independiente puede adaptar cualquier valor si no hay nadie quien lo impida.
El conjunto de valores que adopta la x se denomina con el nombre de dominio campo de existencia de la variable x.
Dom. (- ∞......)
Recorrido:es el conjnto de valores que se han visto obligados a tomar la variable dependiente y.
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